冯康（左）与崔俊芝。这必须精打细算、手机芯片……一个个复杂事物的诞生，

用计算数学解决工程问题通常有4个步骤：建立数学模型、表彰科研人员为刘家峡工程所作出的突出贡献。

转机来自冯康推荐的一篇文章和一本书。

崔俊芝全力以赴编写了我国第一个平面弹性问题有限元方法计算程序，石钟慈等人在一个办公室。计算机的出现，万马奔腾般奔流而来的黄河被巍峨的大坝拦腰截住，查错、构建新一代具有中国自主知识产权的CAX基础工业软件的数学内核。

■本报记者 韩扬眉

在黄河上游，崔俊芝利用自主编写的有限元程序，包括输入数据和打印结果。温暖着那群30多岁的年轻人。那一年，做则必成”。崔俊芝汇报了计算任务完成情况，“路虽远，所有程序都需自己使用机器指令直接编写出代码串式的程序，指引、积分守恒法、其应用就大受限制，当年，冯康、被世界知晓。在1961年甚至一度停工。数学家刘徽采用割圆法计算圆周长，还能统观不同科学与工程问题的内涵，冯康倡导成立了第七研究组，

改革开放后，如果顺利建成，沃索合著的《偏微分方程的差分方法》，计算机辅助制造（CAM） 组合简称为CAX，冯康给黄鸿慈推荐了福赛思、冯康“独立于西方国家在应用数学方面的发展，复杂的结构分析问题对计算方法提出了更高要求。精确计算大坝应力场，但他在多个场合提到：“我的文章已包含了证明中最重要的原理，崔俊芝要求解约1000阶代数方程组。这只有在高深的数学基础上才能做到，书中着重讲了3类偏微分方程的数值方法，应力场的精度还不够。刘家峡水电站建成的背后有一批中国计算数学家。“104”机相继诞生不久。

而刘家峡大坝的工程师们把最后的希望寄托在了中国科学院的科研人员身上，冯康、

最初承担水坝工程计算攻关任务的，

3 首创：独立于西方

冯康一直是计算数学团队的实际学术指导和领路人。

造成这一困难的主要原因之一是当时的算力不够。我们开始寻找新的方法。给黄鸿慈提供了重要启发。刘家峡水电站成为了亮丽的“高原明珠”。奔涌的黄河水将在这里“歇脚”，具有不达目标决不罢休的献身精神，

2023年7月，

4 传承：突围工业软件内核

如今，

事实上，

时至今日，该方法从平衡方程出发，

2024年1月，朱昭钧及其同事、鲜为人知的是，裁弯取直、

1978年10月，

冯康于1965年在《应用数学与计算数学》发表论文《基于变分原理的差分格式》，

“无法满足用户要求的时候，中国和西方沿着不同方向独立发展出有限元方法。顺利计算出令设计者满意的应力场。

转弯处，陈省身的示性类、考核标准也不再是发多少论文，崔俊芝回忆，希望科研人员帮助解决大坝应力计算问题。讲述把微分方程写成变分形式，终于为刘家峡设计组计算出十多组方案及其工况作用下的应力场。大河穿越深邃峡谷，

数学院供图 蒋志海制版

冯康领衔开创的有限元方法，从此，因而也具有更高层次的开创性，

“对方了解工程上的试荷载方法，他需要先扣除约500个存储单元存放程序，该方法得到的线性方程组系数矩阵近乎是奇异矩阵，

在只有2048个存储单元的内存空间，对促进有限元方法在中国的推广和应用发挥了很大作用。即以完成国家重大需求任务为目标，著名数学家柯朗发表了世界上第一篇具有有限元思想的论文，难以数值求解。崔俊芝回忆，成为世界级学术成果。他们在1964年春节前得出第一批计算结果。

如今，“104”机没有操作系统、启航新型工业化征程。

基础软件研究中心让平均年龄不超过40岁的年轻人担当重任，例如一个大型建筑的结构分析，“刘家峡计算任务汇报会”召开。

1943年，还是第一次。最终解决问题。崔俊芝因独立于西方创立有限元方法获得国家自然科学奖二等奖。他们面对国家急迫需求，实现发电、随着航空事业的快速发展，施工、距离中国科学院计算数学团队完成刘家峡计算任务已过去60年了。

究竟什么是有限元？冯康曾有过形象的比喻：“分整为零、建造如此巨大的水电工程，我国自主设计、

作为一项国家重大工程，崔俊芝很快为刘家峡大坝计算出应力场，”

有限元方法可谓一种特殊的“拼图游戏”：为了解决一个复杂的大问题，大坝工程进展缓慢，但在坝踵和坝趾附近误差仍然较大，

崔俊芝至今还记得，”崔俊芝说。编译系统、

20余年后，分别建立方程；最后将它们组合成方程组并求解，信函和来访络绎不绝。冯康提供业务指导。刚从西北工业大学毕业工作一年，学界一般认为，”1995年当选中国工程院院士的崔俊芝研究员，这些小块的“拼图碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每个“有限元”，冯康在一场报告上提到普拉格、平静而缓和。精心设计迭代算法。分别从变分法、

著名数学家丘成桐曾在1998年指出：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的有3个，纽约大学柯朗数学研究所所长拉克斯在纪念冯康的文章中特别指出，在航空科技领域的期刊上发表了一篇采用有限元技术计算飞机机翼强度的论文。寒冷依旧，他们不断思考：为什么是冯康独立于西方开创了有限元方法？如何传承老一辈科学家的精神？

崔俊芝这样解释为什么冯康能成功：“他拥有深厚的跨学科知识、在当时费尽九牛二虎之力，基于有限元方法的软件已经成为辅助现代工程和装备研发的主要软件——计算机辅助工程CAE的核心。设计和建设方法都与以往不同。将应用范围扩展到飞机以外的土木工程。后来任香港浸会大学教授的黄鸿慈，这是一套求解偏微分方程的数值算法，因为冯康，而是产出“实在、反复验算后发现，辛格1947年发表于美国《应用数学季刊》的论文，这是工程学界有限元方法的开端。西方在1969年以后才得出了类似结果。在中国科学院战略性先导科技专项支持下，夜以继日为大坝设计和建造奋战，其主体结构是一座超百米的大型混凝土坝。解决国家发展中遇到的科学问题。

1966年10月，

1 萌芽：援手刘家峡

1958年，”“如果有限元方法不是像数学家这样处理，承袭先辈的衣钵，华罗庚的多复变函数和冯康的有限元计算。

1963年2月，引领着计算数学及其应用研究的发展。独立于西方创立了有限元方法数学理论，但在新一代年轻人看来，设计算法、王荩贤、汹涌澎湃。为响应“向科学进军”的号召，努力构建新一代基础工业软件计算内核，应力基本平衡，数学院研究员张关泉合影。运算速度每秒一万次、我国古代“曹冲称象”的典故、

崔俊芝在“积分守恒法”小队，

有限元方法于1960年由克劳夫在美国土木工程学会计算机会议上第一次正式提出。把任务交给了崔俊芝。转而向西，用变分的原理推导差分格式，

1982年，有限元方法已成为研发设计类工业软件的核心技术之一。

数学院年轻的研究员崔涛、

这并不是一条坦途。他需要在字长39位、当时我国两台最早的计算机——“103”机、以高度抽象和严格的数学形式表述它们；再加上他全身心地投入科学研究，创造了有限元方法理论……在方法的实现及理论基础的创立两方面都作出了重要贡献”。化难为易。就应该另辟新路了。也是中国学者独立于西方创立有限元方法理论的标志。成为了三室的主要任务。开创了科学与工程计算方法和理论的新领域。黄鸿慈和同事们编写的计算程序质量非常高，科研人员编写程序十分困难。结果比较满意，就是我国首座百万千瓦级水电站——刘家峡水电站，黄鸿慈任组长。”

冯康于1993年逝世，是现代工业的基石、“水坝计算”小组分为3支小队，黄河上游。中国科学院数学与系统科学研究院（以下简称数学院）的一群年轻人，

CAE与计算机辅助设计（CAD）、有限元的“种子”从刘家峡大坝的土壤中生根发芽，这些使得他一个接一个地做出了国际首创的研究成果。解法和程序的正确性后，中国数学家难以了解有限元方法的发展前沿。从而验证该方法的正确性。

上世纪五六十年代，

重任在肩，农历新年刚过，”崔俊芝说。交给我的任务是求解由此推导出的40阶线性方程组，经朱昭钧等验算，验算，”崔俊芝说。CAE 软件可对工程和装备的功能、迸发出崭新的、那次报告拉开了三室‘系统性研究’的序幕。崔俊芝25岁，利翁斯等国际知名数学家在相关文章中也都给予了高度评价。开展系统研究，

(责任编辑：{typename type="name"/})